lunes, 22 de noviembre de 2010

cinematica

Cinemática 1
Cinematica
La
movimiento de los cuerpos sin tener en cuenta las causas que lo producen, limitándose, esencialmente, al estudio de
la trayectoria en función del tiempo.
En la Cinemática se utiliza un sistema de coordenadas para describir las trayectorias, denominado sistema de
referencia. La velocidad es el ritmo con que cambia la posición un cuerpo. La aceleración es el ritmo con que cambia
su velocidad. La velocidad y la aceleración son las dos principales cantidades que describen cómo cambia su
posición en función del tiempo.
Cinematica (del griego κινεω, kineo, movimiento) es la rama de la mecánica clásica que estudia las leyes del
Historia
Los primeros conceptos sobre Cinemática se remontan al siglo XIV, particularmente aquellos que forman parte de la
doctrina de la intensidad de las formas o teoría de los cálculos (
científicos como William Heytesbury y Richard Swineshead, en Inglaterra, y a otros, como Nicolás Oresme, de la
escuela francesa.
Hacia el 1604, Galileo Galilei hizo sus famosos estudios del movimiento de caída libre y de esferas en planos
inclinados a fin de comprender aspectos del movimiento relevantes en su tiempo, como el movimiento de los
planetas y de las balas de cañón.
(1608-47), va configurando lo que se conocería como
El nacimiento de la Cinemática moderna tiene lugar con la alocución de Pierre Varignon el 20 de enero de 1700 ante
la Academia Real de las Ciencias de París.
posible deducirla de la velocidad instantánea con la ayuda de un simple procedimiento de cálculo diferencial.
En la segunda mitad del siglo XVIII se produjeron más contribuciones por Jean Le Rond d'Alembert, Leonhard
Euler y André-Marie Ampère, continuando con el enunciado de la ley fundamental del centro instantáneo de rotación
en el movimiento plano, de Daniel Bernoulli (1700-1782).
El vocablo
Cinemática y aclaró su posición dentro del campo de la Mecánica. Desde entonces y hasta nuestros días la
Cinemática ha continuado su desarrollo hasta adquirir una estructura propia.
Con la Teoría de la relatividad especial de Albert Einstein en 1905 se inició una nueva etapa, la Cinemática
relativista, donde el tiempo y el espacio no son absolutos, y sí lo es la velocidad de la luz.
calculationes). Estos desarrollos se deben a[1] Posteriormente, el estudio de la cicloide realizado por Evangelista TorricelliGeometria del Movimiento.[2] En esta ocasión define la noción de aceleración y muestra cómo esCinematica fue creado por André-Marie Ampère (1775-1836), quien delimitó el contenido de la
Elementos basicos de la Cinematica
Los elementos básicos de la Cinemática son: espacio, tiempo y móvil.
En la Mecánica Clásica se admite la existencia de un
objetos materiales e independiente de la existencia de estos. Este espacio es el escenario donde ocurren todos los
fenómenos físicos, y se supone que todas las leyes de la física se cumplen rigurosamente en todas las regiones de ese
espacio. El espacio físico se representa en la Mecánica Clásica mediante un espacio puntual euclídeo.
Análogamente, la Mecánica Clásica admite la existencia de un
todas las regiones del Universo y que es independiente de la existencia de los objetos materiales y de la ocurrencia
de los fenómenos físicos.
El móvil más simple que podemos considerar es el punto material o partícula; cuando en la Cinemática se estudia
este caso particular de móvil, se denomina "Cinemática de la partícula"; y cuando el móvil bajo estudio es un cuerpo
rígido, se lo puede considerar como un sistema de partículas y hacer extensivos similares conceptos; en este caso se
la denomina Cinemática del sólido rígido o del cuerpo rígido.
Cinemática 2
espacio absoluto; es decir, un espacio anterior a todos lostiempo absoluto que transcurre del mismo modo en
Sistemas de coordenadas
En el estudio del movimiento, los sistemas de coordenadas más útiles se encuentran viendo los límites de la
trayectoria a recorrer, o analizando el efecto geométrico de la aceleración que afecta al movimiento. Así, para
describir el movimiento de una partícula que describe una trayectoria circular, la coordenada más conveniente sería
el ángulo central relativo a una dirección o radio preestablecido. Del mismo modo, para describir el movimiento de
una partícula sometida a la acción de una fuerza central, las coordenadas polares serían las más útiles.
En un buen número de casos, el estudio cinemático se hace referido a un sistema de coordenadas cartesianas, usando
una, dos o tres dimensiones según sea la trayectoria seguida por el cuerpo.
Registro del movimiento
La tecnología hoy en día nos ofrece muchas formas de registrar el movimiento efectuado por un cuerpo. Así, para
medir la velocidad se dispone del radar de tráfico cuyo funcionamiento se basa en el efecto Doppler. El taquímetro
es un indicador de la velocidad de un vehículo basado en la frecuencia de rotación de las ruedas. Los caminantes
disponen de podómetros que detectan las vibraciones características del paso y, suponiendo una distancia media
característica para cada paso, permiten calcular la distancia recorrida. El vídeo, unido al análisis informático de las
imágenes, permite igualmente determinar la posición y la velocidad de los vehículos.
Movimiento rectilineo
Es aquel en el que el móvil describe una trayectoria en línea recta.
Movimiento rectilineo uniforme
Figura 1. Variación en el tiempo de la posición y la velocidad para un
movimiento rectilíneo uniforme.
Para este caso la aceleración es cero por lo que la
velocidad permanece constante a lo largo del tiempo.
Esto corresponde al movimiento de un objeto lanzado
en el espacio fuera de toda interacción, o al movimiento
de un objeto que se desliza sin fricción. Siendo la
velocidad
respecto del tiempo, según la ecuación:
Cinemática 3
donde es la posición inicial del móvil respecto al centro de coordenadas, es decir para .
Si la ecuación anterior corresponde a una recta que pasa por el origen, en una representación gráfica de la
función , tal como la mostrada en la figura 1.
v constante, la posición variará linealmente
Movimiento rectilineo uniformemente acelerado
Figura 2. Variación en el tiempo de la posición, la
velocidad y la aceleración en un movimiento rectilíneo
uniformemente acelerado.
En éste movimiento la aceleración es constante, por lo que la
velocidad de móvil varía linealmente y la posición
cuadráticamente con tiempo. Las ecuaciones que rigen este
movimiento son las siguientes:
Donde es la posición inicial del móvil y su velocidad inicial, aquella que tiene para .
Obsérvese que
rectilíneo uniforme, es decir, con velocidad constante.
Dos casos específicos de MRUA son la caída libre y el tiro vertical. La caída libre es el movimiento de un objeto que
cae en dirección al centro de la Tierra con una aceleración equivalente a la aceleración de la gravedad (que en el caso
del planeta Tierra al nivel del mar es de aproximadamente 9,8 m/s
objeto arrojado en la dirección opuesta al centro de la tierra, ganando altura. En este caso la aceleración de la
gravedad, provoca que el objeto vaya perdiendo velocidad, en lugar de ganarla, hasta llegar al estado de reposo;
seguidamente, y a partir de allí, comienza un movimiento de caída libre con velocidad inicial nula.
Cinemática 4
si la aceleracion fuese nula, las ecuaciones anteriores corresponderían a las de un movimiento2). El tiro vertical, en cambio, corresponde al de un
Movimiento armonico simple
Una masa colgada de un muelle
se mueve con un movimiento
armónico simple.
Es un movimiento periódico de vaivén, en el que un cuerpo oscila a un lado y a otro
de una posición de equilibrio en una dirección determinada y en intervalos iguales de
tiempo. Matemáticamente, la trayectoria recorrida se expresa en función del tiempo
usando funciones trigonométricas, que son periódicas. Así por ejemplo, la ecuación
de posición respecto del tiempo, para el caso de movimiento en una dimensión es:
la que corresponde a una función sinusoidal de frecuencia , de amplitud A y fase de inicial .
Los movimientos del péndulo, de una masa unida a un muelle o la vibración de los átomos en las redes cristalinas
son de estas características.
La aceleración que experimenta el cuerpo es proporcional al desplazamiento del objeto y de sentido contrario, desde
el punto de equilibrio. Matemáticamente:
donde es una constante positiva y se refiere a la elongación (desplazamiento del cuerpo desde la posición de
equilibrio).
Cinemática 5
Figura 3. Variación de la posición respecto del tiempo para el
movimiento oscilatorio armónico.
La solución a esa ecuación diferencial lleva a funciones
trigonométricas de la forma anterior. Lógicamente, un
movimiento periódico oscilatorio
tiempo (por
expresión de la aceleración es más complicada,
necesitando agregar nuevos términos relacionados con
la fricción. Una buena aproximación a la realidad es el
estudio del
real se ralentiza en elfriccion mayormente), por lo que lamovimiento oscilatorio amortiguado.
Vease tambien:
Oscilador armonico
Movimiento parabolico
Figura 4. Esquema de la trayectoria del movimiento balístico.
El movimiento parabólico se puede analizar
como la composición de dos movimientos
rectilíneos distintos: uno horizontal (según el eje
x) de velocidad constante y otro vertical (según
eje y) uniformemente acelerado, con la
aceleración gravitatoria; la composición de
ambos da como resultado una trayectoria
parabólica.
Claramente, la componente horizontal de la
velocidad permanece invariable, pero la
componente vertical y el ángulo
transcurso del movimiento.
En la figura 4 se observa que el vector velocidad
inicial forma un ángulo inicial respecto al eje
tipos de movimiento mencionados; bajo este análisis, las componentes según x e y de la velocidad inicial serán:
Cinemática 6
θ cambian en elx; y, como se dijo, para el análisis se descompone en los dos
Objeto disparado con un ángulo inicial desde un punto que
sigue una trayectoria parabólica.
El desplazamiento horizontal está dado por la ley del movimiento uniforme, por tanto sus ecuaciones serán (si se
considera ):
En tanto que el movimiento según el eje será rectilíneo uniformemente acelerado, siendo sus ecuaciones:
Si se reemplaza y opera para eliminar el tiempo, con las ecuaciones que dan las posiciones e , se obtiene la
ecuación de la trayectoria en el plano
que tiene la forma general
y representa una parábola en el plano y(x). En la figura 4 se muestra esta representación, pero en ella se ha
considerado (no así en la animación respectiva). En esa figura también se observa que la altura máxima en
la trayectoria parabólica se producirá en H, cuando la componente vertical de la velocidad sea nula (máximo de
la parábola); y que el alcance horizontal ocurrirá cuando el cuerpo retorne al suelo, en (donde la parábola
Cinemática 7
corta al eje ).
xy:
Movimiento circular
El movimiento circular en la práctica es un tipo muy común de movimiento: Lo experimentan, por ejemplo, las
partículas de un disco que gira sobre su eje, las de una noria, las de las agujas de un reloj, las de las paletas de un
ventilador, etc. Para el caso de un disco en rotación alrededor de un eje fijo, cualquiera de sus puntos describe
trayectorias circulares, realizando un cierto número de vueltas durante determinado intervalo de tiempo. Para la
descripción de este movimiento resulta conveniente referirse ángulos recorridos; ya que estos últimos son idénticos
para todos los puntos del disco (referido a un mismo centro). La longitud del arco recorrido por un punto del disco
depende de su posición y es igual al producto del ángulo recorrido por su distancia al eje o centro de giro. La
velocidad angular (
vector perpendicular al plano de rotación; su sentido se determina aplicando la "regla de la mano derecha" o del
sacacorchos. La aceleración angular (
representa por un vector análogo al de la velocidad angular, pero puede o no tener el mismo sentido (según acelere o
retarde).
La velocidad (
(espacio) por unidad de tiempo tiempo; dicho módulo también se denomina rapidez o celeridad. Se representa
mediante un vector cuya dirección es tangente a la trayectoria circular y su sentido coincide con el del movimiento.
La aceleración (
respecto del tiempo; esto es, el cambio del vector velocidad por unidad de tiempo. La aceleración tiene generalmente
dos componentes: la aceleración tangencial a la trayectoria y la aceleración normal a ésta. La aceleración tangencial
es la que causa la variación del módulo de la velocidad (celeridad) respecto del tiempo, mientras que la aceleración
normal es la responsable del cambio de dirección de la velocidad. Los módulos de ambas componentes de la
aceleración dependen de la la distancia a la que se encuentre la partícula respecto del eje de giro.
ω) se define como el desplazamiento angular respecto del tiempo, y se representa mediante unα) resulta ser variación de velocidad angular respecto del tiempo, y sev) de una partícula es una magnitud vectorial cuyo módulo expresa la longitud del arco recorridoa) de una partícula es una magnitud vectorial que indica la rapidez con que cambia la velocidad
Movimiento circular uniforme
Figura 5. Dirección de magnitudes físicas en una
trayectoria circular de radio 1.
Se caracteriza por tener una velocidad angular constante por lo que
la aceleración angular es nula. La velocidad lineal de la partícula
no varía en módulo, pero sí en dirección. La aceleración tangencial
es nula; pero existe aceleración centrípeta (la aceleración normal),
que es causante del cambio de dirección.
Matemáticamente, la velocidad angular se expresa como:
Cinemática 8
donde es la velocidad angular (constante), es la variación del ángulo barrido por la partícula y es la
variación del tiempo.
El ángulo recorrido en un intervalo de tiempo es:
Movimiento circular uniformemente acelerado
En este movimiento, la velocidad angular varía linealmente respecto del tiempo, por estar sometido el móvil a una
aceleración angular constante. Las ecuaciones de movimiento son análogas a las del rectilíneo uniformemente
acelerado, pero usando ángulos en vez de distancias:
siendo la aceleración angular constante.
Formulacion matematica con el calculo diferencial
La velocidad es la derivada temporal del vector de posición y la aceleración es la derivada temporal de la velocidad:
o bien sus expresiones integrales:
Vease tambien:
Calculo diferencial
Movimiento sobre la Tierra
Al observar el movimiento sobre la Tierra de cuerpos tales como masas de aire en meteorología o de proyectiles, se
encuentran unas desviaciones provocadas por el llamado Efecto Coriolis. Ellas son usadas para probar que la Tierra
está rotando sobre su eje. Desde el punto de vista cinemático es interesante explicar lo que ocurre al considerar la
trayectoria observada desde un sistema de referencia que está en rotación, la Tierra.
Supongamos que un cañón situado en el ecuador lanza un proyectil hacia el norte a lo largo de un meridiano. Un
observador situado al norte sobre el meridiano observa que el proyectil cae al este de lo predicho, desviándose a la
derecha de la trayectoria. De forma análoga, si el proyectil se hubiera disparado a lo largo del meridiano hacia el sur,
el proyectil también se habría desviado hacia el este, en este caso hacia la izquierda de la trayectoria seguida. La
explicación de esta "desviación", provocada por el Efecto Coriolis, es debida a la rotación de la Tierra. El proyectil
tiene una velocidad con tres componentes: las dos que afectan al tiro parabólico, hacia el norte (o el sur) y hacia
arriba, respectivamente, más una tercera componente perpendicular a las anteriores debida a que el proyectil, antes
de salir del cañón, tiene una velocidad igual a la velocidad de rotación de la Tierra en el ecuador. Esta última
componente de velocidad es la causante de la desviación observada pues si bien la velocidad angular de rotación de
la Tierra es constante sobre toda su superficie, no lo es la velocidad lineal de rotación, la cual es máxima en el
ecuador y nula en el centro de los polos. Así, el proyectil conforme avanza hacia el norte (o el sur), se mueve más
Cinemática 9
rápido hacia el este que la superficie de la Tierra, por lo que se observa la desviación mencionada. Lógicamente, si la
Tierra no estuviese rotando sobre sí misma, no se daría esta desviación.
Otro caso interesante de movimiento sobre la Tierra es el del péndulo de Foucault. El plano de oscilación del
péndulo no permanece fijo, sino que lo observamos girar, girando en sentido horario en el hemisferio norte y en
sentido antihorario en el hemisferio sur. Si el péndulo se pone a oscilar en el ecuador, el plano de oscilación no
cambia. En cambio, en los polos, el giro del plano de oscilación toma un día. Para latitudes intermedias toma valores
mayores, dependiendo de la latitud. La explicación de tal giro se basa en los mismos principios hechos anteriormente
para el proyectil de artillería.
Cinematica Relativista
Movimiento relativista bajo fuerza constante: aceleración (azul), velocidad (verde) y
desplazamiento (rojo).
En relatividad, lo que es absoluto es la
velocidad de la luz en el vacío, no el
espacio o el tiempo. Todo observador
en un sistema de referencia inercial, no
importa su velocidad relativa, va a
medir la misma velocidad para la luz
que otro observador en otro sistema.
Esto no es posible desde el punto de
vista clásico. Las transformaciones de
movimiento entre dos sistemas de
referencia deben tener en cuenta este
hecho, de lo que surgieron las
transformaciones de Lorentz. En ellas
se ve que las dimensiones espaciales y
el tiempo están relacionadas, por lo
que en relatividad es normal hablar del
espacio-tiempo y de un espacio
cuatridimensional.
Hay muchas evidencias experimentales
de los efectos relativistas. Por ejemplo
el tiempo medido en un laboratorio
para la desintegración de una partícula que ha sido generada con una velocidad próxima a la de la luz es superior al
de desintegración medido cuando la partícula se genera en reposo respecto al laboratorio. Esto se explica por la
dilatación temporal relativista que ocurre en el primer caso.
La Cinemática es un caso especial de geometría diferencial de curvas, en el que todas las curvas se parametrizan de
la misma forma: con el tiempo. Para el caso relativista, el tiempo coordenado es una medida relativa para cada
observador, por tanto se requiere el uso de algún tipo de medida invariante como el intervalo relativista o
equivalentemente para partículas con masa el tiempo propio. La relación entre el tiempo coordenado de un

observador y el tiempo propio viene dado por el factor de Lorentz.
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video